资金扩大十倍成本为什么不只扩大十倍：幂次冲击模型复算
当成本里存在交易金额的1.5次幂，金额放大十倍，线性项放大十倍，幂次项放大约三十一点六二倍。本例固定三资产交易比例与市场参数，总成本从九十七点四零六零八七元升到一千九百九十九点一一二一一三元，不能按最小规模结果简单乘十。先分清成本金额与成本率，才能看懂非线性究竟出现在哪一层。
三资产五规模的参数先统一单位
构造观察日为2026年10月24日，一次母任务的基准总交易金额十万元，甲乙丙的固定分配比例为百分之五十、三十、二十。这是给定交易向量，不是待优化的组合。规模倍数只取一、二、四、七、十；每种规模都使用同一期间的市场成交额与收益波动率，不包含跨天补量、现金融资、预期收益和相关风险约束。
线性成本系数统一为零点零零零五，冲击系数统一为零点一。甲的市场成交额一百万元、收益波动率百分之二；乙五十万元、百分之三；丙两百万元、百分之一点五。成交额单位为元，收益波动率是无量纲比例，不能填入股数、价格标准差或直接填数字二表示百分之二。所有交易金额取正值表示绝对交易规模，本文令方向偏置项为零。
| 资产 | 固定比例 | 线性系数 | 冲击系数 | 收益波动率 | 同期成交额元 |
|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 0.5 | 0.0005 | 0.1 | 0.02 | 1000000 |
| 乙 | 0.3 | 0.0005 | 0.1 | 0.03 | 500000 |
| 丙 | 0.2 | 0.0005 | 0.1 | 0.015 | 2000000 |
本文教学函数为线性项加冲击项：线性项等于a乘金额x，冲击项等于b乘收益波动率乘x再乘金额参与率平方根，金额参与率为x除同期市场成交额V。因为x与V都是元，平方根内部无量纲，整个冲击项仍为元。若V误用股数，参与率会带元每股单位，最终的成本单位就不再是元，数值看着平滑也没有意义。
十五行中间表同时列平均和边际的区别
| 资产 | 倍数 | 交易额元 | 金额参与率 | 线性元 | 冲击元 | 合计元 | 边际bps |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 1 | 50000.000000 | 0.050000 | 25.000000 | 22.360680 | 47.360680 | 11.708204 |
| 乙 | 1 | 30000.000000 | 0.060000 | 15.000000 | 22.045408 | 37.045408 | 16.022704 |
| 丙 | 1 | 20000.000000 | 0.010000 | 10.000000 | 3.000000 | 13.000000 | 7.250000 |
| 甲 | 2 | 100000.000000 | 0.100000 | 50.000000 | 63.245553 | 113.245553 | 14.486833 |
| 乙 | 2 | 60000.000000 | 0.120000 | 30.000000 | 62.353829 | 92.353829 | 20.588457 |
| 丙 | 2 | 40000.000000 | 0.020000 | 20.000000 | 8.485281 | 28.485281 | 8.181981 |
| 甲 | 4 | 200000.000000 | 0.200000 | 100.000000 | 178.885438 | 278.885438 | 18.416408 |
| 乙 | 4 | 120000.000000 | 0.240000 | 60.000000 | 176.363261 | 236.363261 | 27.045408 |
| 丙 | 4 | 80000.000000 | 0.040000 | 40.000000 | 24.000000 | 64.000000 | 9.500000 |
| 甲 | 7 | 350000.000000 | 0.350000 | 175.000000 | 414.125585 | 589.125585 | 22.748239 |
| 乙 | 7 | 210000.000000 | 0.420000 | 105.000000 | 408.286664 | 513.286664 | 34.163333 |
| 丙 | 7 | 140000.000000 | 0.070000 | 70.000000 | 55.560778 | 125.560778 | 10.952940 |
| 甲 | 10 | 500000.000000 | 0.500000 | 250.000000 | 707.106781 | 957.106781 | 26.213203 |
| 乙 | 10 | 300000.000000 | 0.600000 | 150.000000 | 697.137002 | 847.137002 | 39.856850 |
| 丙 | 10 | 200000.000000 | 0.100000 | 100.000000 | 94.868330 | 194.868330 | 12.115125 |
以甲的一倍规模为例，金额五万元、参与率百分之五，线性项二十五元，冲击项约二十二点三六零六八元，总成本约四十七点三六零六八元。乙金额只有三万元，冲击项却接近甲，因为其市场成交额更小、收益波动率更高。只按金额大小排序，会漏掉分母和波动率共同作用。
边际成本是保持市场参数不变时，金额每再增加一元使总成本增加多少元。对本页函数求导，结果为a加一点五乘b乘收益波动率乘参与率平方根，表中再乘一万显示成基点。它不是总成本除金额的平均成本率；平均率的冲击系数没有一点五，不能把平均值当成最后一元的代价。
比如甲一倍规模的边际为约十一点七零八二零四基点，而其平均总成本率约九点四七二一三六基点。两者不同来自凸函数向上弯曲，不是舍入造成的误差。边际只是在这个静态函数附近的微小变化，不意味着真市场每增加一元都会按这条导数成交，更不能把导数称为可直接支付的券商费率。
成本预算反求要区别网格和连续倍数
将一次总成本预算固定一千元，逐规模合并三项成本，得到下表。五个候选中一、二、四倍可行，七、十倍不可行，因此在这五点网格里最大可行是四倍、四十万元。它不是连续倍数范围的最大值，也不是现实策略容量；中间还有没有测试的规模。
| 倍数 | 合计成本元 | 不超过1000元 |
|---|---|---|
| 1 | 97.406087 | 是 |
| 2 | 234.084664 | 是 |
| 4 | 579.248700 | 是 |
| 7 | 1227.973026 | 否 |
| 10 | 1999.112113 | 否 |
当至少一项实际成本随规模增长时，本函数在非负规模上单调增加，可反求等于预算的连续根。脚本的search_max=10只是初始搜索上界，不是最大允许规模；先核对该上界成本是否达到预算，不足时反复将上界乘二，成功包围根后才二分。若初始上界过大，则在仍覆盖预算根的前提下减半收窄，避免有限迭代次数被过宽区间耗尽。本例十倍成本已经高于一千元，而五倍成本仍低于预算，无须扩展或收窄。模型保留四十二位内部精度、二分一百六十次，结果约六点零一四六零五倍，对应金额六十万一千四百六十点四七二三二三元。显示后的倍数被舍入，不应直接乘基准后要求与显示金额最后几位完全相等；可行性判断使用内部未舍入值。
预算为零且实际成本随规模增长时，连续边界为零；若所有实际成本恒为零，则任何规模都满足非负预算，输出unbounded与空的连续根，不把初始上界冒充有限解。无效的初始上界、负参数、非有限数值、零市场成交额会被拒绝。极端输入在两千零四十八次上界扩展后仍未包围根，输出unbracketed并保留未知，不进入伪二分；收窄两千零四十八次仍无法控制数值跨度时拒绝求根。这些状态只描述本成本函数，不证明现实交易不限量。
这种连续根仅对固定三资产比例、固定系数和固定市场成交额成立。若允许改变权重、拆到不同日期，问题已改变；本页既没有求配置最优，也没有证明任意真实交易都能在该成本预算内完成。即使成本函数给出可行，资金、最小数量、盘口深度和参与率硬约束仍可能否决订单。
条件变化如何检查指数与系数没有混淆
只令全部资产的冲击系数为零，其余正文输入保持不变，成本退化为零点零零零五乘总交易金额，十倍恰好是一倍的十倍。初始十倍成本只有五百元，尚未达到一千元预算，脚本自动将上界扩到二十倍，再求得连续边界二十倍、两百万元交易额。五点候选网格的最大可行点仍只是十倍，不能与扩展后求出的连续边界混用。两百万元没有经过任何现实执行验证；这个对照检验的是输入改变后成本函数和求根步骤是否一致。
只把三个市场成交额同时扩大四倍，参与率变为四分之一，平方根变二分之一，冲击项减半，线性项不变。只把规模扩大十倍，参与率扩大十倍，冲击项则为十乘根号十倍。旧文所举另一个参与率平方的冲击率模型，会出现不同的金额幂次，不能把这里1.5次结论与那套平方率模型相互替换。
资料版本的量纲也要分清。本文采用Cvxportfolio文档中收益波动率的参数解释，将b设为无量纲教学系数；所附早期论文版本另以价格波动率和对应系数单位说明相同外形。必须成套采用，不能拿论文里的价格标准差配本页无量纲b，再声称单位自洽。
模型之外仍有哪些不确定性
使用前先校对x、V的货币与期间，确认波动率与线性系数的百分比表达；其次按十五行重算参与率和各项，再检查三资产合计；最后分别报告网格可行点和连续根。现实拟合还需要实际成本残差、样本覆盖、预测成交额误差和参数稳定性，不能从函数凸性推出系数真实。
旧文交易成本假设说明成本会影响回测，本页交付规模量纲与预算反求。冻结盘口下的量价限制见订单簿深度逐档成交，拆小以后最低收费如何归集见拆单最低手续费汇总口径。滑点与手续费敏感度可做线性基础比较，本篇非线性导数和连续二分由配套教学模型提供。
来源核对：Cvxportfolio 1.5.0成本文档实读TransactionCost公式及sigma、volume_hat、exponent参数；Multi-Period Trading via Convex Optimization v1第2.3节实读式2.2与各参数单位。使用本页明确的收益波动率口径，不混接早期论文的价格波动率单位；两者都不提供本例系数拟合证据。
道积君编辑组，AI辅助编写与核算。全部算例为构造教学输入，非真实交易、交易所撮合或券商收费证明；数值在完整精度计算后显示至小数点后六位，不用于预测收益。
复算资料
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