凯利公式：理论最优下注比例，以及为什么实战要打折
假设有个游戏：胜率 60%，赢了翻倍（赚 1 倍），输了赔光这次下注。你有 100 万，可以反复玩很多次。每次该押多少？
押太少，赢了也赚不到什么；押太多——哪怕胜率有 60%——只要连输几把就可能伤筋动骨甚至归零。这个"押多少"的最优解，就是凯利公式要回答的问题。它不是教你押不押，而是在你已经决定参与时，告诉你下注比例的理论上限在哪。
凯利公式长什么样
最常用的形式是：
f = (b × p − q) / b
- f：你应该下注的资金比例
- p：胜率（赢的概率）
- q：败率（= 1 − p）
- b：赔率（赢一次能赚几倍，即盈亏比）
代入开头的游戏：p = 0.6，q = 0.4，b = 1（赢了赚 1 倍）：
f = (1 × 0.6 − 0.4) / 1 = 0.2
也就是说，每次押 20% 的资金，长期看资金增长最快。押更多或更少，长期复合增长率都不如它。
它到底在最大化什么：不是单次收益，是长期复合增长
这是凯利公式最容易被误解的地方。它最大化的不是单次的期望收益（那样的话你应该全押），而是长期资金的复合增长率。
为什么两者不同？因为投资是连乘不是连加（这正是 复利 的逻辑）。单次期望再高，只要有一次押太重碰上亏损，把本金砸出一个大坑，连乘链条就被重创——而亏损是不对称的，亏 50% 要涨 100% 才回本。凯利公式的精妙就在于：它在"赚得快"和"别把自己搞死"之间，找到了那个数学上的最优平衡点。
推导的直觉是这样的：每轮之后资金变成"原来的 (1 + f×b) 倍"（赢）或"(1 − f) 倍"（输）。把很多轮连乘起来取长期增长率，对 f 求最大值，解出来就是上面那个公式。你不需要会这步微积分，但要记住结论：凯利给的是让连乘结果最大的那个比例。
体会一下"押多了反而变差"这件事。还是那个 60% 胜率、赔率 1 的游戏，我们看不同下注比例长期每轮的复合增长率大致是什么走向：
| 每次下注比例 | 长期表现 |
|---|---|
| 10% | 正增长，但没跑满 |
| 20%（凯利） | 增长率最高 |
| 40%（两倍凯利） | 增长率掉回接近 0 |
| 60% 以上 | 长期几乎必然走向归零 |
注意 40% 这一行：它是凯利的两倍，可长期增长率却掉回到接近零——你多押了一倍的注，换来的不是多一倍的钱，而是把辛苦攒下的复利优势几乎全赔进波动里。押到 60% 以上，哪怕胜率高达 60%，长期也几乎注定归零，因为连输几把造成的深坑，靠剩下那点本金再也爬不出来。这就是凯利最反直觉、也最值钱的一课：在最优点右边，越用力越糟，且是加速变糟。 宁可站在凯利左边（押少了顶多慢一点），也绝不要越过它往右冲。
想直接用？打开 凯利仓位计算器，填入你估计的胜率和盈亏比，它会算出凯利比例。但先读完下面这段——多数人用凯利会用错。
为什么实战要用"半凯利"
理论很美，实战有个大问题：凯利对参数极其敏感，而投资里的参数你根本估不准。
游戏里的胜率 60%、赔率 1 是规则写死的。但在投资里，"这笔交易胜率多少、盈亏比多少"全靠你估，估高一点点，凯利就让你押重一大截。一旦你把胜率高估了，按满凯利下注，结果就是系统性押太重，回撤会大到让你拿不住。
而且满凯利本身波动就极大。研究和实践都表明，满凯利的资金曲线坐过山车一样——理论增长最快，但中途可能腰斩，绝大多数人心理上扛不住。
所以业内普遍的做法是 半凯利（押凯利结果的一半）甚至四分之一凯利：
| 策略 | 上例下注比例 | 长期增长 | 波动/回撤 |
|---|---|---|---|
| 满凯利 | 20% | 最高 | 极大，多数人扛不住 |
| 半凯利 | 10% | 约为满凯利的 3/4 | 大幅降低 |
| 1/4 凯利 | 5% | 更低 | 更稳 |
半凯利只牺牲了约 1/4 的增长，却把波动和回撤砍掉一大半——这是个极其划算的交换。宁可慢一点，也别把自己颠下车，这正是 风险管理与仓位控制 一卷反复强调的核心。
为什么这笔交换这么划算？因为在凯利最优点附近，增长率曲线是"平的"、回撤曲线却是"陡的"。你从满凯利退到半凯利，往左挪的这一步，损失的增长很小（曲线在顶点附近本来就平），换来的却是波动大幅下降（回撤对下注比例极其敏感）。这就好比开车：油门踩到底和踩八成，极速差不了多少，但踩到底时车子的失控风险陡增——聪明人当然选八成油门换来的那份稳。
还有一层现实原因：人是要拿着账户过日子的。满凯利那种资金腰斩再爬回来的过程，纸面上"长期最优"，可真轮到你账户从 100 万掉到 50 万，绝大多数人会在半路恐慌割肉、彻底离场——于是根本等不到"长期"兑现。半凯利把回撤压到人能扛住的范围，本质上是在保护你"待在牌桌上"的能力。而在投资里，能不能活到长期，比长期的理论收益率更重要。
用在投资上，这些前提其实不成立
凯利公式诞生于赔率明确、可无限重复的赌局。直接搬到投资上，有几个前提要打问号：
前提一：胜率和盈亏比已知且稳定。 投资里这俩是估出来的、还会变。参数错了，凯利算出的"最优"就是错的。这是实战必须打折的根本原因。
前提二：每次下注独立。 赌局每把independent，但你持有的多只股票常常一起涨一起跌（相关性高），等于你以为分散下注，实际押的是同一个方向。这会让真实风险远超凯利的假设。
前提三：可以无限重复。 凯利是长期统计意义上的最优。如果你只玩有限几次，或者一次大回撤就被迫离场（爆仓/恐慌割肉），长期最优对你毫无意义——你活不到长期。
小结
- 凯利公式 f = (b×p − q) / b 给的是让长期复合增长最快的下注比例，不是单次收益最大。
- 它的灵魂是在"赚得快"和"别死"之间找平衡——呼应了亏损不对称、复利怕中断的底层逻辑。
- 实战务必打折用（半凯利/更低）：因为投资里胜率盈亏比估不准、持仓相关、还可能活不到长期。把它当作"仓位上限的参考"，而不是精确指令。
凯利公式是"下注多少"的理论地基，真正落到一套可执行的仓位与止损体系，见 风险管理与仓位控制 卷。